[C++ / Algorithm] 무한한 평면과 점 사이의 거리 #24

1. 평면의 방정식

평면의 방정식은 3차원 공간에 존재하는 평면을 나타내는 방정식입니다.
$_ ax + by + cz + d = 0 _$

평면의 방정식의 특징은 그라디언트가 법선 방향을 가르킨다는 것입니다.
이 이유는 그라디언트의 정의를 이해하면 그 이유를 쉽게 알 수 있습니다.
그라디언트는 공간에서 값이 커지는 방향을 가르킨다는 특징이 있습니다.
따라서, 평면의 방정식은 값이 0인 지점들이 모인 것으로,
평면이 나누는 2개의 공간 중 법선 벡터가 가르키는 공간은 값이 커져야하므로
$ ax + by + cz + d $의 값이 양수가 되는 공간이며,
법선 벡터의 반대편 공간은
$ ax + by + cz + d $의 값이 음수가 되는 공간입니다.

2. 평면의 방정식을 이용한 거리 함수

우선, 거리를 계산할 위치 $p$와, 평면의 법선벡터 $n$을 입력받아야 합니다.
원점을 지나는 평면을 기준으로 거리를 측정할 것이기 때문에,
$z$절편을 입력받을 필요가 없습니다.

$_ \vec{p} = \begin{bmatrix} p_{x} \newline p_{y} \newline p_{z} \end{bmatrix},\space \vec{n} = \begin{bmatrix} n_{x} \newline n_{y} \newline n_{z} \end{bmatrix} _$

이 값을 기준으로 원점을 지나는 평면의 방정식은 다음과 같습니다.

$_ n_{x}x + n_{y}y + n_{z}z = 0 _$

이제 이 방정식을 이용하여 거리를 계산하는 함수를 정의해보겠습니다.

우선, 평면 $A$와 $p$사이를 잇는 벡터의 길이가 거리라는 것을 생각할 수 있습니다.
이러한 벡터를 $l$이라고 하겠습니다.

이때, $l$의 크기는 알 수 없지만, $A$와 수직이라는 성질을 이용하여 방향을 알 수 있습니다.
따라서, $l$은 $n$의 방향과 같은 방향을 가집니다.
이를 수식으로 나타낸다면 다음과 같습니다.

$_ \vec{l} = k\vec{n} _$

이러한 벡터 $l$는 평면 $A$위의 임의의 점 $q$와 $p$를 잇는 벡터이므로 다음과 같이도 표현할 수 있습니다

$_ \vec{l} = \vec{p} - \vec{q} _$

$_ k\vec{n} = \vec{p} - \vec{q} _$

이때 $q$는 평면 $A$위의 임의의 점이므로, $A$의 방정식을 만족해야합니다.
따라서, $q$를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$_ \definecolor{color1}{RGB}{252, 179, 30} \definecolor{color2}{RGB}{203, 111, 24} \definecolor{color3}{RGB}{65, 75, 14} \begin{align} \label{eq1} \begin{split} \vec{q} &= \vec{p} - k\vec{n} \newline &= \begin{bmatrix} \color{color1}p_{x} - k \cdot n_{x} \newline \color{color2}p_{y} - k \cdot n_{y} \newline \color{color3}p_{z} - k \cdot n_{z} \end{bmatrix} \end{split} \end{align} _$

$_ n_{x}(\textcolor{color1}{p_{x} - k \cdot n_{x}}) + n_{y}(\textcolor{color2}{p_{y} - k \cdot n_{y}}) + n_{z}(\textcolor{color3}{p_{z} - k \cdot n_{z}}) = 0 _$

$_ n_{x}p_{x} - k \cdot n_{x}^{2} + n_{y}p_{y} - k \cdot n_{y}^{2} + n_{z}p_{z} - k \cdot n_{z}^{2} = 0 _$

$_ n_{x}p_{x} + n_{y}p_{y} + n_{z}p_{z} = k \cdot (n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}) _$

$_ k = \frac{n_{x}p_{x} + n_{y}p_{y} + n_{z}p_{z}}{n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}} _$

이제 $k$를 구했으므로, $l$의 크기를 구할 수 있습니다.

$_ \begin{align} \label{eq2} \begin{split} distance &= k \cdot |\vec{n}| \newline &= \frac{n_{x}p_{x} + n_{y}p_{y} + n_{z}p_{z}}{n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}} \cdot \sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}} \newline &= \frac{n_{x}p_{x} + n_{y}p_{y} + n_{z}p_{z}}{\sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}}} \newline &= \frac{\vec{n} \cdot \vec{p}}{|\vec{n}|} \end{split} \end{align} _$

이제 이를 C++ 코드로 구현해보겠습니다.

3. C++ 코드

#include <iostream>
#include <cmath>

struct Vector3
{
    float x, y, z;
};

float dot(Vector3 a, Vector3 b)
{
    return a.x * b.x + a.y * b.y + a.z * b.z;
}

float length(Vector3 a)
{
    return sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y + a.z * a.z);
}

float sdPlane(Vector3 p, Vector3 n) {
    return dot(p, n) / length(n);
}

int main() {
    Vector3 p = {0, 5, 0}; // 점의 위치
    Vector3 n = {0, 1, 0}; // 평면의 법선벡터

    std::cout << sdPlane(p, n) << std::endl; // 5

    return 0;
}

```