[Linear Algebra] 벡터란? #1

1. 벡터란?

벡터는 크기와 방향을 가지는 양을 나타내는 것입니다.
이는 우리가 아는 숫자를 조금 더 확장한 개념이라고 볼 수 있습니다.
숫자는 단순히 크기만을 가지지만, 벡터는 크기와 방향을 가지고 있습니다.

따라서 벡터는 화살표로 표현할 수 있습니다.
화살표의 길이는 벡터의 크기를 나타내며, 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타냅니다.

벡터에는 다양한 표기법이 존재하며, 이 중 대표적인 표기법은 다음과 같습니다.

2. 벡터의 표기법

2-1. 열벡터 표기법

$_ \vec{v} = \begin{bmatrix} v_{1} \newline v_{2} \newline \vdots \newline v_{n} \end{bmatrix} _$

이는 벡터의 성분을 열로 나타낸 것입니다.
보편적으로 사용되며, 벡터의 성분을 쉽게 파악할 수 있습니다.

2-2. 행벡터 표기법

$_ \vec{v} = \begin{bmatrix} v_{1} & v_{2} & \cdots & v_{n} \end{bmatrix} _$

이는 벡터의 성분을 행으로 나타낸 것입니다.
행렬과의 연산을 쉽게 하기 위해 사용됩니다.

2-3. 단위벡터 표기법

$_ \vec{v} = v_{1}\vec{i} + v_{2}\vec{j} + v_{3}\vec{k} _$

단위 벡터 표기법은 3차원 공간에서 많이 사용되는 표기법으로,
단위 벡터 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$를 이용하여 벡터를 나타냅니다.
이는 벡터의 성분을 각 축 방향으로 나타낸 것입니다.

3. 벡터의 연산

벡터는 크게 벡터의 덧셈과 벡터의 곱셈으로 나뉩니다.
이러한 연산은 벡터의 성질을 이용하여 계산할 수 있습니다.

3-1. 벡터의 덧셈

벡터의 덧셈은 같은 차원의 벡터끼리 성분별로 더하는 연산입니다.
벡터의 차원이란 벡터 성분의 개수로, 해당 벡터의 몇 차원 공간에 존재하는지를 나타냅니다.
따라서, 같은 차원의 벡터끼리 더할 수 있으며, 이는 성분별로 더하는 것입니다.

어떤 사람이 있다고 가정해봅시다.
이 사람은 2차원에 살며, $y$축 방향으로 2만큼 이동한 후, $x$축 방향으로 3만큼 이동했다고 합시다.

이 사람의 이동을 벡터로 나타낸다면 다음과 같습니다.

$_ \vec{v} = \begin{bmatrix} 0 \newline 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \newline 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \newline 2 \end{bmatrix} _$

이러한 이동은 $x$축을 먼저 이동하든, $y$축을 먼저 이동하든 상관이 없으므로,
벡터의 덧셈은 교환법칙이 성립합니다.